Tableau de dérivation des fonctions composées

Du théorème de dérivation des fonctions composées, on peut déduire le tableau suivant dans lequel \(I\)  est un intervalle de \(\mathbb{R}\)  et \(u\)  est une fonction définie et dérivable sur \(I\) .

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline & & & & \\ \text{Fonction}\ f& u^n,\ n \in \mathbb{N}^* & \displaystyle\frac{1}{u^n},\ n \in \mathbb{N}^* & \sqrt{u} & \text{e}^u\\ & & & & \\\hline & & & & \\\text{Fonction}\ f' & nu'u^{n-1} & -\displaystyle\frac{nu'}{u^{n+1}} & \displaystyle\frac{u'}{2\sqrt{u}} & u'\text{e}^u\\ & & & & \\\hline \text{Condition supplémentaire} && u \text{ ne s'annule pas sur } I & u>0\text{ sur } I& \\\hline\end{array}\)

Exemples

1. On considère la fonction \(f\)  définie sur \([-2\ ;\ +\infty[\)  par \(f(x)=\sqrt{3x+6}\) .
On pose \(u(x)=3x+6\)  alors \(u'(x)=3\) .
On a donc  \(f(x)=\sqrt{u(x)}\) .
\(f\)  est dérivable sur \(]-2\ ;\ +\infty[\)  et \(\forall x \in ]-2\ ;\ +\infty[,\ f'(x)=\displaystyle\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{3x+6}}\) .

2. On considère la fonction \(g\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(g(x)=\text{e}^{-x^2}\) .
On pose \(u(x)=-x^2\)  alors \(u'(x)=-2x\) .
On a donc  \(g(x)=\text{e}^{u(x)}\) .
\(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ g'(x)=u'\text{e}^{u(x)}=2x\text{e}^{-x^2}\) .

3. On considère la fonction \(h\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{(2x^2+x+3)^5}\) .
On pose \(u(x)=2x^2+x+3\)     alors \(u'(x)=4x+1\) .
On a donc  \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{(u(x))^5}\) .
\(h\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  et \(\forall x \in \mathbb{R},\ h'(x)=-\displaystyle\frac{5(u'(x))}{(u(x))^6}=-\displaystyle\frac{5(4x+1)}{(2x^2+x+3)^6}\) .